Slavní matematici, fyzici a vynálezci

MATEMATIKA STAROVĚKÝCH KULTUR

Orientální matematika vznikla jako praktická věda aby usnadnila výpočet kalendáře, řízení sklizní, organizaci veřejných staveb a vybírání daní. Zpočátku byla přirozeně věnována pozornost praktické aritmetice a zeměměřictví. Avšak věda, která byla po staletí pěstována jako zvláštní dovednost, jejíž úkol však není jen v aplikaci, ale též ve vyučování vlastních tajemství, se rozvíjela směrem k abstrakci. Ponenáhlu se začala studovat pro sebe samu. Aritmetika se rozvinula v algebru nejen proto, že se tím zlepšili praktické výpočty, ale též v důsledku přirozeného vývojového procesu vědy, pěstované a rozvíjené v písařských školách. Tytéž důvody dovedly měřictví až k počátkům - dále však ne - teoretické geometrie.

Tak se také stává, že přes všechnu podobnost ekonomické struktury a úrovně vědeckých znalostí nalézáme vždy překvapující rozdíly mezi různými kulturami. Příslovečná byla uzavřenost Číňanů a Egyptanů. Bylo vždy lehké rozlišit umělecké výtvory a písemné památky Egypťanů, Mezopotámců, Číňanů a Indů. Právě tak můžeme mluvit o egyptské, mezopotámské, čínské a indické matematice, ačkoliv jejich obecný aritmeticko-algebraický charakter má mnoho shodných prvků. Vždyť i tehdy, když se věda během určité epochy rozvíjela v jedné zemi rychleji než v druhé, zachovala si své charakteristické metodické postupy a symboliku.

Je nesnadné časově zařadit nové objevy v Orientě. Statický charakter společenské struktury orientálních států vedl k tomu, že po staletí či dokonce po tisíciletí zůstává souhrn vědeckých poznatků nezměněn. Objevy vzniklé v některé izolované oblasti nemusely být známy na jiných místech. Velké poklady vědeckých a technických znalostí mohly být zničeny změnou vladaře, válkami nebo povodněmi. Jedna pověst říká, že roku 221 před n. l., když byla Čína sjednocena pod vládou absolutního despoty Ši Chuang Ťi (velkého žlutého císaře), poručil panovník zničit všechny učebnice. Později byly mnohé knihy znovu rekonstruovány; takové události však velmi ztěžují datování objevů.

Další obtíže při určování dat ve vývoji orientální vědy způsobil materiál užívaný k jejímu zaznamenávání. Mezopotámci pálili hliněné tabulky, které byly prakticky nezničitelné. Egypťané používali papyru a značná část jejich písemnictví se zachovala díky suchému klimatu. Číňané a Indové používali materiálu mnohem méně odolného: kůry a bambusu. V druhém tisíciletí př. n. 1. začali Číňané používat papíru, ale z tisíciletí před rokem 700 n. 1. se zachovalo jen málo. Naše znalosti orientální matematiky jsou proto velmi útržkovité; pro staletí před rozvojem řecké vědy jsme odkázáni skoro výlučně na materiály z Mezopotámie nebo Egypta. Je tedy docela dobře možné že by nové objevy mohly vést k úplně novému hodnocení významu různých forem orientální matematiky. Dlouhou dobu byly naše nejbohatší historické prameny z Egypta, a to z toho důvodu, že již roku 1858 byl objeven tzv. Rhindův papyrus, který byl napsán jistě před rokem 1650 před n. l., ale obsahuje materiál mnohem starší.

Babylon (18. 19. př. n. l.)

V posledních třiceti letech se mimořádně rozšířily naše znalosti babylónské matematiky díky pozoruhodným objevům O. Neugebauera a F. Thureau-Dangina; kteří rozluštili velký počet hliněných tabulek. Zdá se nyní, jako by se matematika Babylóňanů rozvinula mnohem dále než matematika jejich východních soupeřů. Tento úsudek bude asi správný, neboť v obsahu babylónských a egyptských textů existovala po staletí jistá vnitřní souvislost. K tomu ekonomický vývoj v Mezopotámii opět postoupil dále než v ostatních zemích té úrodné částí Blízkého východu, která se táhne od Mezopotámie do Egypta. Mezopotámie byla křižovatkou velkého počtu karavanních cest, zatímco Egypt měl poměrně izolovanou polohu. K tomu přistupuje ještě okolnost, že regulace nevypočitatelného Tigridu a Eufratu vyžadovala mnohem více technické zručnosti a technických opatření než Nil.

V té době se zde řešili kvadratické rovnice x2+ px + q = 0. Postupuje se tak, že se hledají dvě čísla r, s s vlastností: r ( s = p a r.s = q. Pro řešení této úlohy se pak použije výpočet podle vzorců (vyjádřeno dnešní symbolikou):

vzorecvzorec

V té době jsou též známy vzorce:

vzorecvzorec

Dále se pak řešili soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Časté byly i úlohy na výpočet procent a úroků. Užívala se Phytagorova věta (zhruba tisíc let před Pythagorovým narozením).

Babylóňané vyvinuli abstraktní formu zápisu symbolů. Symboly zapisovali na hliněných tabulkách, z nichž tisíce bylo nalezeno a prostudováno. Babylóňané měli rozvinutý systém čísel, který byl v určitém smyslu dokonalejší než náš dnešní systém. Používali poziční systém se základem 60, zatímco náš systém používá základ 10, který má dva vlastní dělitele, čísla 2 a 5. Babylónský systém měl deset vlastních dělitelů a proto více čísel mělo konečný tvar.

Babylóňané rozdělovali den na 24 hodin, každou hodinu na 60 minut a každou minutu na 60 sekund. Tento systém počítání času přežil 4000 let až dodnes.

Hlavní nevýhodou babylónského systému byla neexistence nuly. Čísla proto neměla jednoznačnou reprezentaci, ale bylo je nutno uvažovat v kontextu výpočtu, aby bylo zřejmé, zda zápis 1 znamená číslo 1, 61, 3601 atd.

Babylóňané používali pro usnadnění násobení vztah:

vzorec

nebo vztah

vzorec

z nichž plyne význam tabulek druhých mocnin čísel. Dělení je obtížným procesem a Babylóňané neměli algoritmus pro dlouhé dělení čísel. Místo toho využívali vztah

vzorec

což vedlo k nutnosti sestavit tabulky převrácených hodnot čísel. Tyto tabulky byly nalezeny a obsahují převrácené hodnoty čísel až do několika miliard. Jedna z babylónských tabulek dokazuje, že Babylóňané znali problém Pythagorejských čísel, pro něž platí a2 + b2 = c2. Jde tedy o dosud nejstarší práci o teorii čísel.

Egypt (6. století př. n. l.)

Vznikla tu geometrie jako nauka o vyměřování země. Hranice jednotlivých pozemků u řeky Nilu byly každoročními povodněmi narušeny a bylo je nutné obnovovat. Lidé, kteří tuto práci vykonávali, byli geometry v pravém slova smyslu. Pomocí provazu a tyčí dokázali vyměřovat hranice jednotlivých pozemků. V této době již staří Egypťané věděli, že když vezmou tři provazy, jeden dlouhý tři určené jednotky, druhý čtyři a třetí pět jednotek, a natáhnou je tak aby navazovaly jeden na druhý, vznikne proti provazu o délce pět jednotek pravý úhel. Znali dokonce mnohem víc: je jim známo, že ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je zcela určen poměrem jeho dvou kratších stran - dnes bychom řekli poměrem jeho odvěsen. Mají i tabulky podle nichž dovedou z tohoto poměru ostrý úhel určit. Je to zárodek našich dnešních tabulek funkce kotangens. Egypťané v této době už také znali trojčlenku a dovedli řešit rovnice o jedné neznámé.

Egypťané měli číselnou soustavu, která neumožňovala počítání. Egyptská číselná soustava se podobala římské soustavě a nebylo v ní možno snadno provádět násobení nebo dělení.

Egypťané používali matematiku k praktickým účelům. Skotský egyptolog A. Henry Rhind nalezl papyrus, který byl napsán zhruba roku 1650 př.n.l. Je asi šest metrů dlouhý a asi 30 centimetrů široký. Egypťané nechápali čísla jako abstraktní hodnoty, ale vždy pod číslem chápali počet nějakých předmětů. Rhindův papyrus dokazuje, že ačkoliv egyptská číselná soustava neumožňovala snadné násobení čísel, Egypťané násobit uměli.

Většina našich znalostí o egyptské matematice pramení ze dvou matematických papyrů: je to jednak již zmíněný Rhindův papyrus, obsahující 85 úloh; jednak takzvaný Moskevský papyrus, který je asi o dvě století starší a obsahuje 25 úloh. Tyto úlohy byly vykládány už dlouho před vznikem rukopisů; přece však existují papyrusy menšího rozsahu z podstatně mladších dob - dokonce z doby římské - které nejsou metodicky nijak odlišné. Matematika vykládaná v obou těchto papyrusech se opírá o desítkový početní systém se zvláštním znakem pro každou větší decimální jednotku. Tento systém známe dobře z římské numerace, která spočívá na témž principu: MDCCCLXXVIII = 1878. Na základě tohoto systému rozvinuli Egypťané aritmetiku převážně aditivního charakteru, což znamená, že se snažila hlavně o převedeni všeho násobení na opakované sčítání. Např. násobení 13 se provádělo tak, že se nejprve násobilo dvěma, pak čtyřmi, pak osmi a výsledky násobení čtyřmi a osmi se přičetly k danému číslu.

Příklad výpočtu 13x11:

*1 11
2 22
*4 44
*8 88

Výsledky označené * se sečtou, což dává 143.

Mnoho problémů bylo velmi jednoduchých, nepřekračujících lineární rovnice o jedné neznámé. Tak je tomu v tomto případě:
Přičti k veličině její 2/3, 1/2 a 3/7, obdržiš 33. Jaká je to veličina?
Nejvýraznějším rysem egyptské matematiky bylo počítání se zlomky. Všechny zlomky se převáděly na součty tzv. kmenových zlomků, tj. zlomků s čitatelem rovným 1. Jedinou výjimku tvořily 2/3 = 1 - 1/3, pro tento zlomek se používal zvláštní symbol. Převádění na součty kmenových zlomků umožňovaly tabulky udávající rozklady zlomků tvaru 2/n , tedy jediné rozklady potřebné pro násobení dvěma. Rhindův papyrus obsahuje tabulku, která udává pro všechna lichá n od 5 do 331 rozklady zlomku 2/n na kmenové zlomky, např.

vzorec

Tento způsob počítání se zlomky vtiskl egyptské matematice komplikovaný a těžkopádný ráz a trvale zabránil dalšímu jejímu vědeckému růstu. Avšak postup při rozkládání současně vyžadoval jistou matematickou zručnost a existují zajímavé teorie, které se snaží vysvětlit postupy, jimiž by egyptští odborníci mohli docílit svých výsledků. Praktický původ této těžkopádné aritmetiky a primitivní algebry dokládají úlohy zabývající se obsahem zrna v chlebu a v různých druzích piva, krmením dobytka, skladováním obilí. V některých problémech se objevuje zájem o teorii, tak třeba v úloze, jak rozdělit 100 chlebů mezi pět lidí tak, aby získané podíly tvořily aritmetickou posloupnost a aby se sedmina součtu tří větších podílů rovnala součtu obou menších. Najdeme tu dokonce i geometrickou posloupnost, ve které se mluví o sedmi domech, přičemž v každém domě je sedm koček, z nich každá číhá na sedm myší atd. Příklad svědčí o znalosti součtové formule geometrické řady. Některé problém jsou geometrického charakteru a většinouse zabývají měřením. Plocha trojúhelníka se určuje polovičním součinem základny a výšky, plocha kruhu o průměru d s udává jako (d - d/9)2, což by vedlo k hodnotě n = 256/81 = 3,1605. Nalezneme zde také několik formulí pro výpočet objemů, třeba krychle, rovnoběžnostěnu a kruhového válce, samozřejmě vesměs ve zcela konkrétním tvaru výpočtů nádob užívaných převážně k uchování obilí. Nejpozoruhodnějším výsledkem egyptského měřictví byl vzorec pro obsah přímého komolého jehlanu o čtvercových podstavách V = h/3 (a2 + ab + b2), kde a, b jsou strany čtverců základen a h výška. Tento výsledek, k němuž doposud nebyla nalezena žádná obdoba v ostatních formách starověké matematiky, je tím pozoruhodnější, že nemáme doklad o znalosti Pythagorovy věty u Egypťanů, kromě několika nepodložených pověstí o napínačích lan, kteří údajně konstruovali pravý úhel provazcem, na němž bylo 3+4+5=12 uzlů.

Musíme se vyvarovat přeceňování stáří egyptských matematických znalostí. Výstavbě pyramid (kolem roku 3000 před n. l. a dříve) se připisovaly všechny možné výsledky velmi rozvinuté vědy a často se dokonce pokládá za pravdivé tvrzení, že Egypťané zavedli v roce 4212 před n. 1. při výpočtu kalendáře cyklus hvězdy Sothis (Sirius). Nelze však vážně připisovat tak přesné matematické a astronomické znalosti národu, který se právě tehdy pomalu osvobozuje z životních podmínek mladší doby kamenné. Pramenem takových zpráv je obyčejně daleko mladší egyptská tradice, kterou nám zachovali Řekové. Mezi obecné zvláštnosti starých kultur patří též datování základních znalostí do mnohem ranější doby. Všechny dostupné texty ukazují na dosti primitivní stav egyptské matematiky. Taková byla rovněž obecná úroveň jejich astronomie.

Eufrat a Tigrid

Na východ od starověkého Egypta, v okolí řek Eufratu a Tigridu, v krajině, kde vládnou Peršané a žijí zde některé vysoce kulturní národy: Akkadové, Sumerové, Babyloňané, Asyřané, Chaldeové. Ryjí zvláštní klínové značky do barevných tabulek. Na tisících a statisících těchto tabulek jsou nějaké výpočty. Největší část se týká astronomie. Pohled těchto národů, zejména Chaldeů, byl vždycky zaměřen k obloze. Dovedli dopředu vypočítat zatmění Měsíce a Slunce, znali zdánlivé dráhy jednotlivých hvězd na obloze a věděli, kudy se pohybují planety. Vyznali se bezvadně v kalendáři, rozdělili kruh na 360 stupňů a znali základy toho, čemu se po mnoha staletích začne říkat sférická trigonometrie - počítání s trojúhelníky na kulové ploše. Dovedli tak mistrně počítat s velkými čísli, že si vědci dodnes lámou hlavu, zda byli ve spojení s Indy a Číňany, kteří ve stejné době počítali s čísly až nepředstavitelně velkými.

Indie

Například v prastarém indickém eposu Mahábhárata se hovoří o 600 000 milionech Budhových synů a o 24.1015 bozích. Jedna z tehdejších lidových pohádek vypráví o bitvě, které se zúčastnilo 1040 opic. Kdyby vůbec tolik opic existovalo, nevešli by se do celé sluneční soustavy. Indové znali zaručeně i pravoúhlý trojúhelník. Nebyl to egyptský trojúhelník o stranách 3, 4 a 5, ale jejich indický se stranami 5, 12 a 13.

Čína

Ještě trochu východněji, v Číně, se počítá na zvláštních prkénkách s navlečenými kuličkami - je to snad zárodek pozdějších počítacích strojů? - a již více než 500 let znají taxametry. Když vás někam vezl tehdejší taxík, zvláštní páka umístěná na otáčejícím se kole narážela na nádobu s kameny a způsobila, že kameny otvorem vypadávají na cestu. Podle počtu poztrácených kamenů se pak platilo jízdné.

Vznikla tu sbírka Matematika v devíti knihách, poprvé vydaná v roce 152 před naším letopočtem. Jejím autorem je čínský matematik Čžan Can. Tato kniha obsahuje 246 úloh s řešením, je zde například udáno, jak řešit lineární rovnice o třech a více neznámých.

Řecko

Opusťme nyní Čínu a navštivme tehdejší Řecko. Zde žil Thales z Milétu (asi 624 - 547 př. n. l), po němž se dodnes nazývá jedna věta z geometrie (všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice a mající svůj vrchol na obvodu této kružnice jsou pravé), byl učitelem dalšího mudrce, který čerpal své vědomosti v Egyptě, totiž Pythagora ze Samu. Na matematiku měla vliv také tehdejší filozofie a škola, kterou založil Parmenidés. Významným zástupcem této školy byl Zenón z Eleje, který byl známý svým věcným nepřátelstvím k Pythagorejcům. Ale i v této době žili matematici, kteří dále propracovávali Pythagorovo iracionálno. Ještě před Zénónem žili filosofové Demokritos z Abdér (asi 470 - 360 př. n. l.) a Anaxagoras, nad jehož znalostmi geometrie užasneme, pokud se zamyslíme nad jeho pojetím spojitosti: v malém není nejmenšího, nýbrž je vždy ještě menšího. Avšak také ve velkém je vždy něco, co je větší.

V této době se stává středem helénského světa Alexandrie. Vzniká tam museum, knihovna a řada vědeckých ústavů. Zde také tři sta let před naším letopočtem vstoupila na scénu osobnost, která dovedla geometrii k vrcholu klasické dokonalosti, totiž Euklides (asi 365 až 300 let př. n. l.), který napsal jednu z nejdůležitějších knih o geometrii Základy. Další velikán své doby Archimédes (asi 287 až 212 let př. n. l.) byl matematikem a fyzikem skutečnosti. Jiným matematikem archimédovy doby byl Apollonios z Pergy. Jeho největším dílem je proslulých osm knih o kuželosečkách. Dodnes vzbuzují obdiv pro svou úplnost.

Po historických matematických a geometrických objevech Euklidových, Archimédových a Apolloniových pozdější matematici rozšiřovali a zobecňovali znalosti svých předchůdců. Je faktem, že po Apolloniovi nastalo zřetelné období úpadku matematiky. Další rozvoj přinesl až Diofantos ve 3.stol. n.l. Matematikou se od 2.stol. př.n.l. do 3.stol. n.l. zabývali pouze Řekové.

Římská matematika prakticky neexistovala, protože Řím byl státem právníků a státní moci. Techniku, architekturu nebo válečné umění zajišťovali odborníci ostatních kulturních národů.

Ve 2. stol. př. n. l. Diokles objevil křivku kisoidu, Nikodémes křivku konchoidu. Nikodémova konchoida znamenala pokrok při řešení klasického problému, jak dvojnásobit krychlový oltář v Delfské věštírně. Stejně tak lze pomocí konchoidy rozdělit úhel na tři stejné části.

V té době se geometr Perseos zabýval křivkami, které vznikají kutálením kruhu. Určitého pokroku dosáhla trigonometrie. Prvním matematikem, který se trigonometrií hlouběji zabýval, byl Heron z Alexandrie, zvaný Mechanikos. Pravým zakladatelem trigonometrie byl Hipparchos. Přibližně kolem roku 100 našeho letopočtu žil matematik Menelaos, který běžně řešil sférický trojúhelník a vytvořil tak tedy základy sférické trigonometrie.

Po něm přišel Klaudius Ptolemaios (žil kolem roku 140 našeho letopočtu). Asi od 5.stol. př.n.l. se ve starověkém Řecku k zápisu čísel používalo písmen a několika pomocných značek převzatých z abeced jiných jazyků. Číslo jedna se zapisovalo jako alfa s čárkou, číslo 2 jako beta s čárkou atd. Čárkou se v řečtině označoval přízvuk a tím se odlišovalo číslo od písmene. Vícemístná čísla se zapisovala součtově, přičemž se řadila vedle sebe sestupně zleva doprava. Přitom se přízvuky vynechávaly a nad číslo se psala vodorovná čárka. Tisíce se zapisovaly stejnými písmeny jako jednotky, přičemž před písmeno se psala čárka vlevo dole. Jde o zárodek našeho pozičního systému zápisu čísel. Při takovém zápisu čísel bylo velmi obtížné již sčítání. Řekové se vyhýbali obecným výpočtům a počítali každý příklad zvlášť. Proto neznali čísla obecná (proměnné, konstanty), která se dnes zapisují pomocí písmen abecedy a jsou základem algebry. Přesto Řekové algebru znali. Na počátku vývoje vyjadřovali algebraické vztahy slovně a byli schopni tak řešit algebraické rovnice. Později čísla znázorňovali pomocí geometrických úseček. Tímto způsobem bylo možno vyjádřit také čísla iracionální, ale nebylo možné vyjádřit čísla záporná nebo imaginární.

Rovnice se zpočátku vyjadřovaly slovně, později se objevily pro často se opakující znaky nebo symboly určité zkratky, stále ještě odvozené od slov. O značné zjednodušení zápisu se zasloužil Diofantos z Alexandrie (žil kolem roku 240 našeho letopočtu). Ve čtvrtém století našeho letopočtu žila Hipatie (370-415) - první žena matematička.

Matematika středověku

A B C D E F G H J K L M N O P R S T V W Z